Question

11．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数．当x＜0时．f（x）=1+2^x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间及值域；
（4）求使f（x）＞a恒成立的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中y=f（x）是定义在R上的奇函数，若x＜0时，f（x）=1+2^x，我们易根据奇函数的性质，我们易求出函数的解析式；
（2）根据分段函数图象分段画的原则，即可得到函数的图象；
（3）根据函数的图象可得函数的单调区间及值域；
（4）根据图象求出函数的下确界，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
当x＞0时，-x＜0
则f（-x）=1+2^-x=-f（x）
又∵x＜0时，f（x）=1+2^x，
∴当x＞0时，f（x）=-1-2^-x
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+{2}^{x}，x＜0\\ 0，x=0\\-1-{2}^{-x}，x＞0\end{array}\right.$
（2）函数f（x）的图象如下图所示：

（3）由图可得：
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞），函无单调递减区间；
函数f（x）的值域为（-2，1）∪{0}∪（1，2）；
（4）若f（x）＞a恒成立，
则a≤-2．

点评 本题考查的知识点是指数函数的性质及函数奇偶性的性质，函数的单调区域及值域，恒成立问题，其中根据函数奇偶性的性质，结合已知条件求出函数的解析式，是解答本题的关键