Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．

(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(x－3)2＋(y－1)2＝4，（2）

【解析】

（1）先根据将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据中点坐标公式得用Q坐标表示P，代入点P满足得曲线C1直角坐标方程，即得点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）根据垂径定理得圆心(3，1)到直线的距离不大于1，再消参数得直线l的直角坐标方程，最后利用点到直线距离公式化简不等式，解出实数a的取值范围．

(1)根据题意得，

曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，

设点P(x′，y′)，Q(x，y)，

根据中点坐标公式，得

代入x2＋y2－4y＝12，

得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，

(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，

解得0≤a≤.

∴实数a的取值范围为.