Question

数列的前项和为，，函数．

（1）求的值和数列的通项公式；

（2）证明：当时，；

（3）求证：．

 

Answer 1

（1）、；（2）证明：当时，，所以函数在时单调递减，所以；（3）证明：由（2）知，，所以.

令 ① ②

②-①整理得，故.

【解析】

试题分析：（1）首先令，由可得；然后根据公式，并将题设中的等式代入化简整理得判断出数列是首项为2，公比为2的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得；（2）证明函数，当时单调递减，即可得出结论；（3）利用放缩法，结合错位相减法，即可证明结论．

试题解析：（1）【解析】
时，，所以.又因为，所以当时，，即，即，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，当时，也满足上式．故.

（2）证明：当时，，所以函数在时单调递减，所以；

（3）证明：由（2）知，，

所以.

令 ① ②

②-①整理得，故.

考点：数列与不等式的综合；数列的求和．