Question

1．已知定义在（-∞，4]上的函数f（x）与其导函数f'（x）满足（x-1）（x-4）[f'（x）-f（x）]＜0，
若$f（{|x|+|y|+1}）-{e^{\frac{1}{2}|x|-1}}f（{\frac{1}{2}|x|+|y|+2}）＜0$，则点（x，y）所在区域的面积为（　　）

• A． 12
• B． 6
• C． 18
• D． 9

Answer 1

分析 先构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性则原不等式可转化为$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{|x|+|y|≤3}\\{|x|+2|y|≤4}\end{array}\right.$，画出相对应的可行域，求出影音部分的面积即可．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又（x-1）（x-4）[f'（x）-f（x）]＜0，
当x＜1时，f'（x）-f（x）＜0，
当1＜x＜4时，f'（x）-f（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，
在[1，4]上单调递增，
∵$f（{|x|+|y|+1}）-{e^{\frac{1}{2}|x|-1}}f（{\frac{1}{2}|x|+|y|+2}）＜0$，
∴f（|x|+|y|+1）＜${e}^{\frac{1}{2}|x|-1}$f（$\frac{1}{2}$|x|+|y|+2），
同除以e^|x|+|y|+1，
∴$\frac{f（|x|+|y|+1）}{{e}^{|x|+|y|+1}}$＜$\frac{f（\frac{1}{2}|x|+|y|+2）}{{e}^{\frac{1}{2}|x|+|y|+2}}$，
∴g（|x|+|y|+1）＜g（$\frac{1}{2}$|x|+|y|+2），
∵|x|+|y|+1≥1，$\frac{1}{2}$|x|+|y|+2≥2，
∴|x|+|y|+1＜$\frac{1}{2}$|x|+|y|+2，
即$\frac{1}{2}$|x|＜1，
∴|x|＜2，①
又定义域限制
∴|x|+|y|+1≤4，②
$\frac{1}{2}$|x|+|y|+2≤4，③，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{|x|+|y|≤3}\\{|x|+2|y|≤4}\end{array}\right.$，
画出如图所比表示的可行域，
∴S_阴影=2S_梯形=2×$\frac{1}{2}$×（2+4）×2=12，
故选：A

点评 本题考查了导数和函数的单调性的应用以及不等式的解法，考查了学生的转化能力，数形结合的能力，属于难题