Question

由部分实数构成的集合A满足：①任意两个元素之和在A中；②任意两个元素之积也在A中；③任意一个元素的n次方仍在A中（n属于正整数），则符合条件的集合有

 

个．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：

分析：根据条件①分别从元素个数上进行判断，分别验证条件②③是否满足即可得到结论．

解答： 解：若集合A含有两个元素a，b，即{a，b}，
若满足①，则a+b=a，或a+b=b，
解得b=0或a=0．
当b=0时，集合A={0，a}，满足条件②，若满足条件③，则有aⁿ=0或aⁿ=a，解得a=0（舍去）或a=1，此时集合A={0，1}．
同理当a=0时，解得b=1，此时集合A={0，1}．
若集合A含有3个元素a，b，c，即{a，b，c}，
由上面证明可知若满足①，当a+b=a，或a+b=b，时，解得a=0，b=1，此时A={0，1，c}，
若c+1=0，即c=-1，此时集合A={0，-1，1}满足条件①②③，
若c+1=1，解得c=0，此时集合A={0，0，1}不成立，
若c+1=c，此时c无解，此时满足条件的集合A={1，0，-1}．
若集合A中含有的元素大于3，则根据集合元素加法的不封闭性可知，此时不存在满足条件的集合A．
故满足条件的集合A={0，1}，或{1，0，-1}．共2个．
 故答案为：2．

点评：本题主要考查元素和集合关系的判断，考查学生的推理能力，综合性较强，难度较大．