Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=81，a_n=$\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}}，\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}}，n=2k+1\end{array}$（k∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n的最大值为127．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=81，a_n=$\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}}，\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}}，n=2k+1\end{array}$（k∈N*），可得n=2k（k∈N^*）时，a_2k=-1+log₃a_2k-1；n=2k+1时a_2k+1=${3}^{{a}_{2k}}$．因此a_2k+1=${3}^{-1+lo{g}_{3}{a}_{2k-1}}$=$\frac{1}{3}{a}_{2k-1}$，a_2k=-1+a_2k-2．于是数列{a_n}的奇数项成等比数列，公比为$\frac{1}{3}$；偶数项成等差数列，公差为-1．分类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=81，a_n=$\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}}，\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}}，n=2k+1\end{array}$（k∈N^*），
∴n=2k（k∈N^*）时，a_2k=-1+log₃a_2k-1，a₂=3；n=2k+1时a_2k+1=${3}^{{a}_{2k}}$．
∴a_2k+1=${3}^{-1+lo{g}_{3}{a}_{2k-1}}$=$\frac{1}{3}{a}_{2k-1}$，a_2k=-1+a_2k-2．
∴数列{a_n}的奇数项成等比数列，公比为$\frac{1}{3}$；偶数项成等差数列，公差为-1．
∴S_n=S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）
=$\frac{81[1-（\frac{1}{3}）^{k}]}{1-\frac{1}{3}}$+3k+$\frac{k（k-1）}{2}×（-1）$
=$\frac{243}{2}$$[1-（\frac{1}{3}）^{k}]$-$\frac{1}{2}$$（k-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{49}{8}$≤126．（k=5时取等号）．
S_n=S_2k-1=S_2k-2+a_2k-1=$\frac{243}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{k-1}]$-$\frac{1}{2}（k-\frac{9}{2}）^{2}$+$\frac{49}{8}$+$81×（\frac{1}{3}）^{k-1}$≤127，k=5时取等号．
综上可得：数列{a_n}的前n项和S_n的最大值为127．
故答案为：127．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．