Question

19．设L为曲线C：y=$\frac{lnx}{x}$在点（1，0）处的切线．
（1）求L的方程；
（2）证明：f（x）≤x-1在定义域内恒成立．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得切线的斜率f′（1），利用点斜式即可得出．
（2）f（x）≤x-1在定义域（0，+∞）内恒成立?$\frac{lnx}{x}$-x+1≤0，（x＞0）?lnx-x²+x≤0，（x＞0）．令g（x）=lnx-x²+x，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f′（1）=$\frac{1-ln1}{1}$=1，f（1）=0，
∴曲线C：y=$\frac{lnx}{x}$在点（1，0）处的切线L的方程为：y-0=x-1，即x-y-1=0．
（2）证明：f（x）≤x-1在定义域（0，+∞）内恒成立?$\frac{lnx}{x}$-x+1≤0，（x＞0）?lnx-x²+x≤0，（x＞0）．
令g（x）=lnx-x²+x，g′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{1-2{x}^{2}+x}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，（x＞0）．
可得x∈（0，1）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=ln1-1+1=0，∴g（x）≤0在在定义域（0，+∞）内恒成立，
即f（x）≤x-1在定义域内恒成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法、导数的几何意义及其应用，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．