Question

11．设数列（a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），则S_2n+3=$\frac{{4}^{n+2}-1}{3•{4}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 通过分组可知S_2n+3表示的是以1为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列的前n+2项和，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，S_2n+3=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+2+a_2n+3）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n+2}}$
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n+1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n+2}}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{{4}^{n+2}-1}{3•{4}^{n+1}}$，
故答案为：$\frac{{4}^{n+2}-1}{3•{4}^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．