Question

已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)．

（1）求f(3)，f(4)；

（2）求f(n)（用含n的式子表示）．

Answer 1

解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2；                   

（2）设A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}，

A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}，

A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}，

它们所含元素的个数分别记为∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．

①当n＝3k时，则∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝1，2时，f(n)＝(C)3＝k3；

k≥3时，f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k．

从而 f(n)＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*．       

②当n＝3k－1时，则∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；

k＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；

k＞3时，f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1； 

从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－1，k∈N*． 

③当n＝3k－2时，∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝k－1，∣A2∣＝k．

k＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2；

k＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；

k＞3时，f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2；

从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－2，k∈N*．

所以f(n)＝