Question

20．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3^x．
（1）求 f（x），g（x）；
（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在m∈[-2，-1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将-x代入已知等式，利用函数f（x）、g（x）的奇偶性，得到关于f（x）与g（x）的又一个方程，将二者看做未知数解方程组，解得f（x）和g（x）；
（2）由（1）和t的范围化简不等式f（2t）+ag（t）＜0，分离出a后构造函数，由指数函数的单调性求出最小值，根据恒成立求出实数a的取值范围；
（3）由（1）和m的范围化简不等式af（m）+g（2m）＜0，分离出a后构造函数，利用换元法法，由函数的单调性求出最小值，根据存在性问题求出实数a的取值范围；

解答 解：（1）∵f（x）、g（x）分别是奇函数、偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
令x取-x，代入f（x）+g（x）=3^x ①，
f（-x）+g（-x）=3^-x，即-f（x）+g（x）=3^-x ②，
由①②解得，f（x）=$\frac{1}{2}（{3}^{x}-{3}^{-x}）$，g（x）=$\frac{1}{2}（{3}^{x}+{3}^{-x}）$；
（2）由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0为：
不等式$\frac{1}{2}（{3}^{2t}-{3}^{-2t}）$+a•$\frac{1}{2}（{3}^{t}+{3}^{-t}）$＜0，
化简得，（3^t-3^-t）+a＜0，即a＜-3^t+3^-t，
∵任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，
且函数y=-3^t+3^-t在[0，1]上递减，∴y≥$-\frac{8}{3}$，即a＜$-\frac{8}{3}$
则实数a的取值范围是（-∞，$-\frac{8}{3}$）；
（3）由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0为：
a•$\frac{1}{2}（{3}^{m}-{3}^{-m}）$+$\frac{1}{2}（{3}^{2m}+{3}^{-2m}）$＜0，
∵m∈[-2，-1]，∴$\frac{1}{2}（{3}^{m}-{3}^{-m}）＜0$，则化简得，
a＞$\frac{{3}^{-2m}+{3}^{2m}}{{3}^{-m}-{3}^{m}}$=$\frac{{（3}^{-m}-{3}^{m}）^{2}+2}{{3}^{-m}-{3}^{m}}$=${3}^{-m}-{3}^{m}+\frac{2}{{3}^{-m}-{3}^{m}}$，
令t=3^-m-3^m，∵m∈[-2，-1]，∴t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，
则a＞$t+\frac{2}{t}$，
∴存在m∈[-2，-1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等价于：
存在t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，使得不等式a＞$t+\frac{2}{t}$成立，
∵$t+\frac{2}{t}≥2\sqrt{t×\frac{2}{t}}$=$2\sqrt{2}$，当且仅当$t=\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$时取等号，
∴函数y=$t+\frac{2}{t}$在[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]递增，则函数y=$t+\frac{2}{t}$的最小值是$\frac{41}{12}$，
即a＞$\frac{41}{12}$，故实数a的取值范围是（$\frac{41}{12}$，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质的应用，列方程组法求函数的解析式，以及恒成立和存在性问题的转化，考查了构造函数法，分离常数法，换元法等，转化思想，化简、变形能力．