Question

已知数列{a_n}，对于n∈N⁺，点P（n，a_n）始终在函数f（x）=-2x+5的图象上，
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列．
（Ⅱ）求数列{a_n}前n项和S_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=-2n+5，从而a₁=-2+5=3，a_n+1-a_n=-2（n+1）+5-（-2n+5）=-2，由此能证明数列{a_n}是首项为3，公差为-2的等差数列．
（Ⅱ）由已知得S_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+4n=-（n-2）²+4，由此能求出数列{a_n}前n项和S_n的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}，对于n∈N⁺，
点P（n，a_n）始终在函数f（x）=-2x+5的图象上，
∴a_n=-2n+5，
∴a₁=-2+5=3，
a_n+1-a_n=-2（n+1）+5-（-2n+5）=-2，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为-2的等差数列．
（Ⅱ）解：∵数列{a_n}是首项为3，公差为-2的等差数列，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)
=-n²+4n=-（n-2）²+4，
∴n=2时，数列{a_n}前n项和S_n取最大值4．

点评：本题考查等差数列的证明，考查等差数列的前n项和的最大值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．