Question

已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．
（I）求与的关系式；
（II）令，求证：数列是等比数列；
（III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有c_n+1＞c_n成立。

Answer 1

（1）
（2） ，q=-2;
（III）见解析

第一问中，利用数列的首项和直线的方程可以得到的关系得到。
第二问中，利用第一问中的关系式，表示，然后得到分式函数，化简可得
解：过的直线方程为
联立方程消去y得
∴即
（2）
∴是等比数列 ，q=-2;
（III）由（II）知，，要使恒成立由恒成立， 
即（－1）ⁿλ＞-（）^n－1恒成立．
ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）^n－1恒成立．
又（）^n－1的最小值为1．∴λ<1．                          10分
ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）^n-1恒成立，又－（）^n－1的最大值为－，∴λ>－．  11分即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有_．