Question

已知双曲线C：-=1（0＜＜1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使·=0，其中点O为坐标原点.

Answer 1

≤＜.   

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知易求B（1，0），
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，
设M（1，y₀），N（1，-y₀）（y₀＞0），
由·=0，得y₀=1，
∴M（1，1），N（1，-1）.
又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，
∴-=1²+-1=0=，                             4分
因为0＜＜1,所以=.                                            5分
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).
由,
得［-(1-)k²］x²+2(1-)k²x-(1-)(k²+)="0,                             " 8分
由题意知：-(1-)k²≠0,
所以x₁+x₂=,
x₁x₂=,
于是y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=,                                 10分
因为·=0,且M、N在双曲线右支上，
所以
?＜＜.                                  13分
由①②，知≤＜.                                          14分