【题目】长方体中,
,
分别是
,
的中点,
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得二面角
为
,若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)线段上存在一点
,使得二面角
为
,且
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)要证与平面
平行,就是要证
与平面内的一条直线平行,由长方体的特征,过
作
交
于点
,可证
与
平行且相等,从而得
,得线面平行;
(Ⅱ)要证面面垂直,首先在矩形中,由已知可得
,因此再由长方体一性质有
,从而得
与平面
垂直,于是有面面垂直;
(Ⅲ)以为原点,
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立坐标系,写出各点坐标,设
(
),从而得
,求出二面角
的两个面的法向量,由法向量的夹角余弦的绝对值为
可求得
值,从而确定Q点是否存在.
试题解析:
(Ⅰ)证明:过作
交
于
,连接
.
∵是
的中点,∴
,
,
又∵是
中点,∴
,
,
∴,
,
是平行四边形,
∴,
又在平面
内,∴
平面
.
(Ⅱ)证明:∵平面
,
在平面
内,
∴,
在矩形中,
,
∴,
∴是直角三角形,∴
,
∴平面
,
∵在平面
内,∴平面
平面
.
(Ⅲ)解:以为原点,
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立坐标系,则
,
,
.
平面的法向量为
,
设,(
),则
,
设平面的法向量为
,
则令
,则
,
∵二面角为
,
∴,
由于,∴
,
∴线段上存在一点
,使得二面角
为
,且
.
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【题目】已知是抛物线
与圆
在第一象限的公共点,其中圆心
,点
到
的焦点
的距离与
的半径相等,
上一动点到其准线与到点
的距离之和的最小值等于
的直径,
为坐标原点,则直线
被圆
所截得的弦长为( )
A. 2 B. C.
D.
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【题目】某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车,某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆.则他乘上上等车的概率为________.
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【题目】已知某运动员每次投篮命中的概率低于,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某校高三数学竞赛初赛考试后,对部分考生的成绩进行统计(考生成绩均不低于90分,满分150分),将成绩按如下方式分成六组,若第四、五、六组的人数依次成等差数列,且第六组有4人.
(1)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数M;
(2)现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人,记他们的成绩分别为.若
,则称此二人为“黄金帮扶组”.试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率
;
(3)以此样本的频率当做概率,现随机在这所有考生中选出3名学生,求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.
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【题目】一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.求:
(1)“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
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【题目】2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,给当地人民造成了巨大的财产损失,适逢暑假,小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成,
,
,
,
五组,并作出如下频率分布直方图(图1):
(Ⅰ)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的100户居民捐款情况如右下表格,在图2表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样方法每次抽取1户居民,抽取3次,记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为. 若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列,期望
和方差
.
附:临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 |
随机量变
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【题目】甲、乙二人做射击游戏,甲、乙射击击中与否是相互独立事件.规则如下:若射击一次击中,则原射击人继续射击;若射击一次不中,就由对方接替射击.已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为,且第一次由甲开始射击.①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率____________;②求第4次由甲射击的概率________.
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