Question

6．已知函f（x）=ax²-e^x．
（Ⅰ）当a=1时，试判断f（x）=的单调性并给予证明；
（Ⅱ）若f（x）=有两个极值点x₁＜x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，把导函数二次求导后，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于0，从而得到原函数是实数集上的减函数；
（Ⅱ）把函数f（x）=ax²-e^x有两个极值点转化为其导函数f′（x）=2ax-e^x有两个根，分离变量a后分析右侧函数h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的单调性，该函数先减后增有极小值，然后根据图象的交点情况得到a的范围；

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-e^x，f（x）在R上单调递减．
事实上，要证f′（x）=x²-e^x在R上为减函数，只要证明f′（x）≤0对?x∈R恒成立即可，
设g（x）=f′（x）=2x-e^x，则g′（x）=2-e^x，
当x=ln2时，g′（x）=0，
当x∈（-∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．
∴函数g（x）在（-∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．
∴f′（x）_max=g（x）_max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上单调递减；                                    
（Ⅱ）由f（x）=ax²-e^x，所以，f′（x）=2ax-e^x．
若f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
故方程2ax-e^x=0有两个根x₁，x₂，
又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=$\frac{{e}^{x}}{x}$有两个根，
设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，得h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．
若x＞0时，h（x）＞0．
当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．
要使方程2a=$\frac{{e}^{x}}{x}$ 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞$\frac{e}{2}$且0＜x₁＜1＜x₂．
故a的取值范围为（$\frac{e}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数在某点取得极值的条件，考查转化思想，此题是有一定难度的题目．