Question

17．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2，AD=BG=1．
（Ⅰ）求证：DE⊥BC．
（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求几何体EGABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CD⊥BC，CE⊥BC，从而BC⊥平面DCE，由此能证明DE⊥BC．
（Ⅱ）过G作GN∥BC，交BE于M，交CE于N，连结DM，则BGNC是平行四边形，推导出四边形ADMG是平行四边形，从而AG∥DM，由此能证明AG∥平面BDE．
（Ⅲ）几何体EGABCD的体积V_EGABCD=V_A-BCEG+V_E-ACD，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，
∴CD⊥BC，CE⊥BC，
又CD∩CE=C，
∴BC⊥平面DCE，
∵DE?平面DCE，∴DE⊥BC．
（Ⅱ）如图，在平面BCEG中，过G作GN∥BC，
交BE于M，交CE于N，连结DM，
则BGNC是平行四边形，
∴CN=BG=$\frac{1}{2}$CE，即N是CE中点，∴MN=$\frac{BC}{2}$，
∴MG∥AD，MG=NG=BC-$\frac{BC}{2}$=$\frac{BC}{2}=AD$，
∴四边形ADMG是平行四边形，
∴AG∥DM，
∵DM?平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．
解：（Ⅲ）几何体EGABCD的体积：
V_EGABCD=V_A-BCEG+V_E-ACD
=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCEG}×DC+\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×CE$
=$\frac{1}{3}×\frac{2+1}{2}×2×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．