Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）=0，当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（-x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

• A、（-∞，-1）∪（0，1）
• B、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：导数的运算,函数奇偶性的性质,其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由f（x）为偶函数得到f（-x）=f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，由f（1）=0，F（1）=F（-1）=0，不等式xf（x）＞0等价为F（x）＞0，分

x＜0 F(x)＞F(-1)

或

x＞0 F(x)＞F(1)

，由F（x）的单调性即可得到原不等式的解集．

解答： 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（-x），即xf′（x）+f（x）＜0，
∴[xf（x）]′＜0，
∴令F（x）=xf（x），则F（x）为奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，
∵f（1）=0，且f（-1）=0
∴F（1）=F（-1）=0，
∴不等式xf（x）＞0等价为F（x）＞0，
∴

x＜0 F(x)＞F(-1)

或

x＞0 F(x)＞F(1)

∴

x＜0 x＜-1

或

x＞0 x＜1

即x∈（-∞，-1）∪（0，1），
∴原不等式的解集为：（-∞，-1）∪（0，1），
故选A．

点评：本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，同时考查解不等式的运算能力，是函数的综合题．