Question

5．已知函数$f（x）={log_9}（{9^x}+1）+kx（k∈R）$是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线$y=\frac{1}{2}x+b$没有交点，求b的取值范围．
（3）设$h（x）={log_9}（a•{3^x}-\frac{4}{3}a）$，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出k的值即可；
（2）问题转化为g（x）=log₉（9^x+1）-x的图象和直线y=b无交点，求出g（x）的最小值，从而求出b的范围；
（3）问题转化为方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-$\frac{4}{3}$a有且只有一个实数根，通过换元结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx=${log}_{9}^{{（9}^{-x}+1）}$-${log}_{9}^{{（9}^{x}+1）}$=${log}_{9}^{\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}}$-${log}_{9}^{{（9}^{x}+1）}$=-x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由题意知方程${log}_{9}^{{（9}^{x}+1）}$-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g（x）=${log}_{9}^{\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}}$=${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{x}}）}$，
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜${9}^{{x}_{1}}$＜${9}^{{x}_{2}}$，从而$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$＞$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$．
于是${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}）}$＞${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}）}$，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+$\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，所以g（x）=${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{x}}）}$＞0．
所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-$\frac{4}{3}$a有且只有一个实数根．
令3^x=t＞0，则关于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0（记为（*））
有且只有一个正根．
若a=1，则t=-$\frac{3}{4}$，不合，舍去；若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△=0⇒a=$\frac{3}{4}$或-3；但a=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合，舍去；而a=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的两根异号?（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性以及最值问题，考查转化思想，是一道中档题．