Question

7．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′：AA′=3：4，则S_{△A′B′C′}：S_△ABC=9：49．

Answer 1

分析 通过平面α∥平面ABC，证明A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，转化为△ABC与△A′B′C′相似，利用相似于三角形的面积之比等于边长的平方之比，即可得答案．

解答 解：由题意：∵平面α∥平面ABC，
∴A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，
∴三角PA′B′相似于三角形PAB，三角形PB′C′相似于三角形PBC，三角形PA′C′相似于三角形PAC，
∴PA′：PA=PB′：PB=A′B′：AB，PB′：PB=PC′：PC=B′C′：BC，
PC′：PC=PA′：PA=A′C′：AC，
∴A′B′：AB=B′C′：BC=A′C′：AC，
故得：S_{△A′B′C′}∽S_△ABC．
∴S_{△A′B′C′}：S_△ABC=A′B′²：AB²．
又∵PA′：A′A=3：4，
∴PA′：PA=3：7，
A′B′：AB=3：7，
所以得：S_{△A′B′C′}：S_△ABC=9：49．
故答案为：9：49．

点评 本题通过面面平行证明线面平行到线线平面的转化，利用相似于三角形的面积之比等于边长的平方之比来求解．属于中档题．