在平面直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$.在以直角坐标系的原点为极点.x轴的正半轴为极轴的极坐标系中.直线l的极坐标方程为ρsin=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．(1)求曲线C在直角坐标系中的普通方程和直线l的倾斜角,.若直线l与曲线C相� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$（α为参数），在以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程和直线l的倾斜角；
（2）设点P（0，1），若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的值．

分析（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$（α为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．由直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用互化公式可得：直线l的普通方程，利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
（2）显然点P（0，1）在直线l：x-y+1=0上．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t_A，t_B，利用|PA|+|PB|=|t_A|+|t_B|即可得出．

解答解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$（α为参数），
利用平方关系可得曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
由直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得：直线l的普通方程为x-y+1=0，斜率k=1，∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$．
（2）显然点P（0，1）在直线l：x-y+1=0上．
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得$5{t^2}+8\sqrt{2}t=0$．
此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t_A，t_B，
∴t_A+t_B=$-\frac{8\sqrt{2}}{5}$．
∴|PA|+|PB|=|t_A|+|t_B|=|t_A+t_B|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

湘岳中考系列答案

小单元复习手册系列答案

小考必备考前冲刺46天系列答案

钟书金牌寒假作业延边人民出版社系列答案

钟书金牌快乐假期寒假作业吉林教育出版社系列答案

智趣寒假作业云南科技出版社系列答案

智多星快乐寒假新疆美术摄影出版社系列答案

志鸿优化系列丛书寒假作业系列答案

芝麻开花寒假作业江西教育出版社系列答案

长江作业本寒假作业湖北教育出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

13．已知函数f（x）=|x+3|-m+1，m＞0，f（x-3）≥0的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥|2x-1|-t²+$\frac{5}{2}$t成立，求实数t的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

14．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）恒经过椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ为参数）的右焦点F．
（1）求m的值；
（2）当α=$\frac{π}{4}$时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

11．设直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），点P在直线上，且与点M（-4，0）的距离为$\sqrt{2}$，若将直线的参数方程该写出$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），则在这个方程中点P对应的参数t等于多少？

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

18．

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是棱CC₁，BC，A₁B₁上的点，若∠B₁MN=90°．则∠PMN的大小是（　　）

A．

等于90°

B．

小于90°

C．

大于90°

D．

不确定

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

8．已知函数f（x）=x³-x+2，则f（x）在[0，1]上的最小值为$2-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

15．（Ⅰ）已知命题p：函数f（x）=（2a-5）^x是R上的减函数；
命题q：在x∈（1，2）时，不等式x²-ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设条件p：2x²-3x+1≤0，条件q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题