Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，角A，B，C的大小成等差数列，向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$），=（cos$\frac{A}{2}$，-$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$），f（A）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
（1）若f（A）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，试判断三角形ABC的形状；
（2）若b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$，求边c及S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用已知及等差数列的性质，三角形内角和定理可求B=60°，利用数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求sin（A-60°）=0，结合A的范围可求A=60°，即可得解．
（2）利用已知及余弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵A，B，C成等差数列，可得：2B=A+C，
又∵A+B+C=180°，
∴B=60°．
∵向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，-$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$），f（A）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（A）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（A-60°）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴可得：sin（A-60°）=0．
∵A∈（0，60°]，可得：A-60°∈（-60°，0]，
∴可得：A=60°，即A=B=C=60°．
∴三角形ABC的形状为：正三角形．
  （2）∵B=60°，b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：3=2+c²-2×$\sqrt{2}×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-$\sqrt{2}c$-1=0，
∴解得：c=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．