Question

18．y=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$在[π，2π]上的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式化简已知可得y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），依题意结合x的范围，求出$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象求得最小值即可得解．

解答 解：y=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[π，2π]，
∴$\frac{x}{2}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，可得：y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\sqrt{3}$]．
∴y=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$在[π，2π]上的最小值是-1．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的最值，换元是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．