Question

16．若平面α的一个法向量$\overrightarrow n$=（2，1，1），直线l的一个方向向量为$\overrightarrow a$=（1，2，3），则l与α所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{6}$
• C． -$\frac{\sqrt{21}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 设l与α所成角为θ，设向量$\overrightarrow n$与$\overrightarrow a$的夹角为β，可得sinθ=|cosβ|，由空间向量的运算可得．

解答 解：由题意设l与α所成角为θ，设向量$\overrightarrow n$与$\overrightarrow a$的夹角为β，
∵平面α的一个法向量$\overrightarrow n$=（2，1，1），直线l的一个方向向量为$\overrightarrow a$=（1，2，3），
∴sinθ=|cosβ|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{a}|}$|=|$\frac{2×1+1×2+1×3}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}•\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{21}}{6}$
故选：B．

点评 本题考查直线与平面所成的角和法向量的夹角的关系，属中档题．