【题目】如图,设椭圆的中心为原点,长轴在
轴上,上顶点为
,左,右焦点分别为
,线段
的中点分别为
,且
是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过做直线
交椭圆于
两点,使
,求直线
的方程.
【答案】(1),
;(2)
和
.
【解析】试题分析:(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为F2(c,0).已知△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90°,可得c=2b,在Rt△AB1B2中,
,从而a2=b2+c2=20.即可得到椭圆的方程.(2)由(1)得B1(﹣2,0),可设直线l的方程为x=my﹣2,代入椭圆的方程,得到根与系数的关系,利用PB2⊥QB2,
,向量坐标化,得到关于m的方程,即可得到m.
(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为
.
因是直角三角形,又
,故
为直角,因此
,得
.
又得
,故
,所以离心率
.
在中,
,故
由题设条件,得
,从而
.
因此所求椭圆的标准方程为.
(2)由(1)知,由题意知直线
的倾斜角不为0,故可设直线
的方程为
,代入椭圆方程得
,
设,则
,
又,所以
由,得
,即
,解得
,
所以直线方程分别为和
.
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【题目】如果数据x1 , x2 , …,xn的平均数是 ,方差是S2 , 则2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数和方差分别是( )
A. 和S
B.2 +3和4S2
C. 和S2
D. 和4S2+12S+9
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【题目】已知直线的方程为
,点
是抛物线
上到直线
距离最小的点,点
是抛物线上异于点
的点,直线
与直线
交于点
,过点
与
轴平行的直线与抛物线
交于点
.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.
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【题目】如图是函数y=Asin(ωx+φ)( ,
)图
像的一部分.为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(x∈R)的图像上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变.
B. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
C. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变.
D. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
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【题目】已知全集U=R,集合A={x|x},集合B={x|x≤1},那么U(A∩B)等于( )
A.{x|x或x>1}
B.{x|x
1}
C.{x|x≤或x
1}
D.{x|≤x≤1}
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【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为
,直线
与抛物线
交于
两点,过这两点分别作抛物线
的切线,且这两条切线相交于点
.
(1)若的坐标为
,求
的值;
(2)设线段的中点为
,点
的坐标为
,过
的直线
与线段
为直径的圆相切,切点为
,且直线
与抛物线
交于
两点,求
的取值范围.
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