Question

已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=90°，

BE

=3

EC

，若P是BC边上的动点，则

AP

•

AE

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，由AB=AC，BC=4，∠BAC=90°，可得AB=AC=2

2

．由

BE

=3

EC

，可得

OE

=

3

4

OC

+

1

4

OB

．设P（x，y），则x+y=2

2

，0≤y≤2

2

．则

AP

•

AE

=

2

(y+

2

)，即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵AB=AC，BC=4，∠BAC=90°，
∴AB=AC=2

2

，
∵

BE

=3

EC

，
∴

OE

-

OB

=3(

OC

-

OE

)，
∴

OE

=

3

4

OC

+

1

4

OB

=(

2

2

，

3 2

2

)．
设P（x，y），则x+y=2

2

，0≤y≤2

2

．
则

AP

•

AE

=

2

2

x+

3 2

2

y=

2

2

(x+3y)=

2

2

(2y+2

2

)=

2

(y+

2

)∈[2，6]．
故答案为：[2，6]．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．