Question

若α，β∈R，且α≠kπ+

π

2

（k∈Z），β≠kπ+

π

2

（k∈Z），则“α+β=

2π

3

”是“（

3

tanα-1）（

3

tanβ-1）=4”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：tan（α+β）=-

3

，这便可求出α+β=

2π

3

+kπ，这样便会得到α+β=

2π

3

是（

3

tanα-1）（

3

tanβ-1）=4充分不必要条件．

解答： 解：(

3

tanα-1)(

3

tanβ-1)=3tanαtanβ-

3

(tanα+tanβ)+1=

3sinαsinβ

cosαcosβ

-

3 sin(α+β)

cosαcosβ

+1=4；
∴

3(sinαsinβ-cosαcosβ)

cosαcosβ

-

3 sin(α+β)

cosαcosβ

=0；
∴

-3cos(α+β)- 3 sin(α+β)

cosαcosβ

=0；
∴-3cos（α+β）=

3

sin（α+β）；
∴tan(α+β)=-

3

；
∴α+β=

2π

3

+kπ；
∴α+β=

2π

3

是（

3

tanα-1）（

3

tanβ-1）=4充分不必要条件．
故选A．

点评：考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角．