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已知椭圆C1(ab0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1F2,过点F1的直线l交椭圆CEG两点,且EGF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点AB,设P为椭圆上一点,且满足t (O为坐标原点),当||时,求实数t的取值范围.

 

1y21.2

【解析】(1)由题意知椭圆的离心率ee2

a22b2.

EGF2的周长为4,即4a4a22b21.

椭圆C的方程为y21.

(2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.

设直线AB的方程为yk(x2)A(x1y1)B(x2y2)P(xy),由

(12k2)x28k2x8k220.

Δ64k44(2k21)(8k22)0,得k2.x1x2x1x2

t

(x1x2y1y2)t(xy)xy[k(x1x2)4k].

P在椭圆C上,

22

16k2t2(12k2)

|||x1x2|

(1k2)[(x1x2)24x1x2]

(1k2)

(4k21)(14k213)0

k2.k2.

16k2t2(12k2)t28

12k22t284

2t<-t2

实数t的取值范围为

 

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