Question

在空间直角坐标系中，对其中任何一向量X=（x₁，x₂，x₃），定义范数||X||，它满足以下性质：
（1）||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
（2）对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）；
（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．在平面直角坐标系中，有向量X=（x₁，x₂），
下面给出的几个表达式中，可能表示向量X的范数的是

 

（把所有正确答案的序号都填上）
（1）

x 2 1 +2 x 2 2

       （2）

2 x 2 1 - x 2 2

     （3）

x 2 1 + x 2 2 +2

       （4）

x 2 1 + x 2 2

．

Answer 1

考点：基本不等式,向量的几何表示

专题：不等式的解法及应用,空间向量及应用

分析：由（1）知当且仅当X为零向量时，|X|=0，由此可以排除选择支（2），（3）．选择支（1）满足性质（3），

a2+2b2

+

m2+2n2

≥

(a+m)2+2(b+n)2

?2abmn≤a²n²+b²m²这是显然成立的，同理可以知道（4）也可以．

解答： 解：由（1）知当且仅当X为零向量时，|X|=0 因此可以排除选择支（2），（3）．
现在探索一下选择支（1）是否满足性质（3），

a2+2b2

+

m2+2n2

≥

(a+m)2+2(b+n)2

?2abmn≤a²n²+b²m²这是显然成立的，所以选择支（1）满足性质（3）
又选择支（1）显然满足性质（2）；所以选择支能表示X的范数
同理可以知道（4）也可以表示向量X的范数．
所以经过验证后可以知道正确的是（1），（4）．
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查了新定义向量的范数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．