【题目】如图,椭圆:
与圆
:
相切,并且椭圆
上动点与圆
上动点间距离最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
,
,
与
交于
两点,
与圆
的另一交点为
,求
面积的最大值,并求取得最大值时直线
的方程.
【答案】(1);(2)面积的最大值为
,此时直线
的方程为
.
【解析】
(1)由题意可得b=1,a﹣1,即可得到椭圆的方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),根据l2⊥l1,可设直线l1,l2的方程,分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|,即可得到三角形ABC的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值.
(1)椭圆E与圆O:x2+y2=1相切,知b2=1;
又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为,即椭圆中心O到椭圆最远距离为
,
得椭圆长半轴长,即
;
所以椭圆E的方程:
(2)①当l1与x轴重合时,l2与圆相切,不合题意.
②当l1⊥x轴时,M(﹣1,0),l1:x=1,,此时
.…(6分)
③当l1的斜率存在且不为0时,设l1:x=my+1,m≠0,则,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得,(2m2+3)y2+4my﹣1=0,
所以,
所以.
由得,
,解得
,
所以,
所以
, 因为
,
所以
,
当且仅当时取等号.所以
(
)
综上,△ABM面积的最大值为,此时直线l1的方程为
.
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【题目】某运输公司有名驾驶员和
名工人,有
辆载重量为
吨的甲型卡车和
辆载重量为
吨的乙型卡车.某天需运往
地至少
吨的货物,派用的车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配
名工人,运送一次可得利润
元:派用的每辆乙型卡车需配
名工人,运送一次可得利润
元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得的最大利润多少?
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【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种,经研究发现该水果每株的产量(单位:
)和与它“相近”的株数
具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
),并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数
的回归方程;
(2)该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点(横纵直线的交点)处都种了一株该种水果,其中每个小正方形的面积都为,现从所种的该水果中随机选取一株,试根据(1)中的回归方程,预测它的产量的平均数.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
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【题目】有下列四个命题:
①“若,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若,则
有实根”的逆否命题;
④“若,则
”的逆命题。
其中真命题是( )
A.①②④B.②③④C.①②③D.①③④
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【题目】设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.
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【题目】如图,在三棱锥中,
是边长为2的正三角形,
,E、F、H分别为AP、AB、AC的中点,PF交BE于点M,CF交BH于点N,
,
.
求证:
平面BEH;
求证:
;
求直线PA与平面ABC所成角的正弦值.
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【题目】随着计算机的出现,图标被赋予了新的含义,又有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标,该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分,大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点,则此点取自图标第三部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程是:
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程.
(2)点是曲线
上的动点,求点
到直线
距离的最大值与最小值.
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