Question

设函数f_n（x）=x-（3n-1）x²（其中n∈N^*），区间I_n={x|f_n（x）＞0}．
（Ⅰ）定义区间（α，β）的长度为β-α，求区间I_n的长度；
（Ⅱ）把区间I_n的长度记作数列{a_n}，令b_n=a_n•a_n+1，
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由f_n（x）＞0，得x-（3n-1）x²＞0，解得0＜x＜

1

3n-1

，即可求区间I_n的长度；
（Ⅱ）求得{a_n}的通项公式，根据数列通项的特点可利用裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，建立等式关系，用m表示出n，再根据m∈N^*，m＞1，可求出所求．

解答： 解：（Ⅰ）由f_n（x）＞0，得x-（3n-1）x²＞0，解得0＜x＜

1

3n-1

，
所以区间的长度为

1

3n-1

-0=

1

3n-1

；        …3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

1

3n-1

．
（1）∵b_n=a_n•a_n+1=

1

3

（

1

3n-1

-

1

3n+2

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…（

1

3n-1

-

1

3n+2

）]=

n

2(3n+2)

   …6分
（2）由（1）知，T₁=

1

10

，T_m=

m

2(3m+2)

，T_n=

n

2(3n+2)

假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，则T_m²=T₁T_n，
化简得

m2

(3m+2)2

=

n

5(3n+2)

．
∴（-3m²+6m+2）n=5m² （*）
当m=2时，（*）式可化为2n=20，∴n=10．
当m≥3时，-3m²+6m+2=-3（m-1）²+5≤-7＜0．
又∵5m²＞0，∴（*）式可化为n=

5m2

-3m2+6m+2

＜0，
∴此时n无正整数解．
综上可知，存在满足条件的正整数m、n，此时m=2，n=10．…10分．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，等比关系的确定以及裂项求和法的应用，同时考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．