Question

8．已知函数y=x²的图象在点（x₀，x₀²）处的切线为直线l，若直线l与函数y=lnx（x∈（0，1））的图象相切，则满足（　　）

• A． x₀∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• B． x₀∈（1，$\sqrt{2}$）
• C． x₀∈（0，$\frac{1}{2}$）
• D． x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 求出函数y=x²的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x₀=$\frac{1}{m}$，lnm-1=-x₀²，再由零点存在定理，即可得到所求范围．

解答 解：函数y=x²的导数为y′=2x，
在点（x₀，x₀²）处的切线的斜率为k=2x₀，
切线方程为y-x₀²=2x₀（x-x₀），
设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{m}$，
可得2x₀=$\frac{1}{m}$，切线方程为y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-x₀²，
由0＜m＜1，可得x₀＞$\frac{1}{2}$，且x₀²＞1，
解得x₀＞1，
由m=$\frac{1}{2{x}_{0}}$，可得x₀²-ln2x₀-1=0，
令f（x）=x²-ln2x-1，x＞1，
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在x＞1递增，
且f（$\sqrt{2}$）=1-ln2$\sqrt{2}$＜0，f（$\sqrt{3}$）=2-ln2$\sqrt{3}$＞0，
则有x₀²-ln2x₀-1=0的根x₀∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．