Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₂-1）³+2014（a₂-1）=sin

2011π

3

，（a₂₀₁₃-1）³+2014（a₂₀₁₃-1）=cos

2011π

6

，则S₂₀₁₄=（　　）

• A、2014
• B、4028
• C、0
• D、2014

  3

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₃的值，利用等差数列的性质及数列的前n项和公式求出n项和．

解答： 解：（a₂-1）³+2014（a₂-1）=sin

2011π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₃-1）³+2014（a₂₀₁₃-1）=cos

2011π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-1）³+2014（a₂-1）+（a₂₀₁₃-1）³+2014（a₂₀₁₃-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₃-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（（a₂₀₁₃-1）+（a₂₀₁₃-1）²]+2014（a₂-1+a₂₀₁₃-1）=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₃-1=0，
即a₂+a₂₀₁₃=2，
∴S₂₀₁₄=

(a1+a2014)×2014

2

=1007×(a2+a2013)=1007×2=2014，
故选：A．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和，根据条件求出a₂+a₂₀₁₃=2是解决本题的关键．