Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA₁的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．

解答： 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，
设AA₁=2a，E为AA₁的中点，
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴建立空间坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C₁（2，2，2a），O（1，1，a），
则

BD

=（-2，2，0），

BE

=（-2，0，a），

AO

=（1，1，a），
若OA⊥平面BDE，则

OA ⊥ BD OA ⊥ BE

，即

OA • BD =0 OA • BE =0

，
即a²-2=0，
解得a=

2

，
∴球O的半径R满足：2R=

22+22+(2 2 )2

=4，
故球O的表面积S=4πR²=16π，
故答案为：16π．

点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．