Question

4．已知函数f（x）=2x³+3mx²+3nx-6在x=1及x=2处取得极值．
（1）求m、n的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可知f（x）在x=1及x=2处取得极值，即$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，列方程组即可求得m、n的值；
（2）由题意可知：f′（x）=6x²-18x+12，令f′（x）＞0，求得函数单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=2x³+3mx²+3nx-6，求导，f′（x）=6x²+6mx+3n=0，
f（x）在x=1及x=2处取得极值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{4m+n=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$，
m、n的值分别为-3，4；
（2）由（1）可知：f′（x）=6x²-18x+12，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
f（x）的单调递增区间（-∞，1），（2，+∞），
当单调递减区间（1，2）．

点评 本题考查导数的求法，考查函数的单调性与极值的综合应用，考查计算能力，属于中档题．