Question

【题目】过椭圆的右焦点F作直线交椭圆于M、N两点，H为线段MN的中点，且OH的斜率为，设点

求该椭圆的方程；

若点P是椭圆上的动点，求线段PA的中点G的轨迹方程；

过原点的直线交椭圆于B、C两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），（3）最大值．

【解析】

结合点差法和直线的斜率，以及OH的斜率为，可得，再根据右焦点F在直线上，求出c，即可求出椭圆的方程；

利用转移法解得G的轨迹方程；

联立直线的方程与椭圆方程，利用弦长公式求出CB，再根据点到直线距离公式得A到CB的距离，根据三角形的面积得函数解析式，根据基本不等式求出最大值．

解：设，则，两式相减可得，

，

即，

直线交椭圆于M、N两点，H为线段MN的中点，且OH的斜率为，

，，

，

右焦点F作在直线上，

令，可得，

，

，，

由，解得，，

椭圆方程为；

设，，则有，即，代入为中，

得，

故线段PA的中点G的轨迹方程为，

当直线BC垂直x轴时，此时，点A到直线BC的距离，则，

当直线BC的斜率为零时，此时，点A到直线BC的距离，则，

当直线BC的斜率存在且不为零时，设直线BC的方程为，

联立方程组可得，消y整理可得，

解得，，

则，

点A到直线BC的距离，

，

，

当且仅当时，即，取最大值，最大值为，

综上所述面积的最大值．