Question

抛物线C₁：y²=4x，双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若C₁的焦点恰为C₂的右焦点，则2a+b的最大值为（　　）

• A、

  5

• B、5
• C、

  2

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,三角函数的图像与性质,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a²+b²=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答： 解：抛物线C₁：y²=4x的焦点为（1，0），
即有双曲线的c=1，
即a²+b²=1，（a＞0，b＞0），
设a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），
则2a+b=2cosα+sinα=

5

（

2

5

cosα+

1

5

sinα）=

5

sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），
当α+θ=

π

2

时，2a+b取得最大值，且为

5

．
故选A．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．