Question

已知

a

=（cosx，2

3

cosx），

b

=（2cosx，sinx），且f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的图象与其对称轴的交点坐标；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由向量和三角函数公式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由周期公式可得；
（2）可知函数的图象与其对称轴的交点即为函数的最大值和最小值点，结合图象易得答案；
（3）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosx，2

3

cosx），

b

=（2cosx，sinx），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）可知函数的图象与其对称轴的交点即为函数的最大值和最小值点，
∴当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，函数取最大值3，
当2x+

π

6

=2kπ+

3π

2

，即x=kπ+

2π

3

（k∈Z）时，函数取最小值-1，
∴f（x）的图象与其对称轴的交点坐标为（kπ+

π

6

，3）或（kπ+

2π

3

，-1）
（3）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及平面向量的数量积，属基础题．