Question

已知抛物线D：y²=4x的焦点与椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂重合，且点P（

2

，

6

2

）在椭圆Q上．
（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；
（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F₁，且与椭圆相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

a2-b2=1 2 a2 + 3 2b2 =1

，由此能求出椭圆Q的方程和离心率．
（Ⅱ）直线l的方程y=x+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，由此能求出△ABF₂的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线D：y²=4x的焦点与椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂重合，
y²=4x的焦点为（1，0），
∴椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），（1分）
又点P（

2

，

6

2

）在椭圆Q上，
∴

a2-b2=1 2 a2 + 3 2b2 =1

，解得a²=4，b²=3，（3分）
∴椭圆Q的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，（4分）
∴离心率e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），
∴直线l的方程为y-0=tan45°（x+1），（6分）
即y=x+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，
消y整理，得7x²+8x-8=0，（8分）
∴x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

24

7

又点F₂到直线l的距离 d=

|1+1|

1+(-1)2

=

2

（10分）
∴S△ABF1=

1

2

|AB|d=

1

2

•

24

7

•

2

=

12 2

7

．（12分）

点评：本题考查椭圆方程及离心率的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．