Question

14．已知函数f（x）=a|x+1|-|x-1|，a≥1．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若实数a的取值范围是[3，4]，求f（x）的图象与直线y=2所围成的三角形的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题转化为y=2与f（x）的图象的两个交点都在y轴的左侧，结合图象，求出S的面积即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=a|x+1|-|x-1|=|x+1|-|x-1|，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x＜-1}\\{2x，-1≤x≤1}\\{2，x＞1}\end{array}\right.$，
∴不等式f（x）＜1的解集是{x|x＜$\frac{1}{2}$}；
（Ⅱ）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）x-a-1，x＜-1}\\{（1+a）x+a-1，-1≤x≤1}\\{（a-1）x+a+1，x＞1}\end{array}\right.$，
由（1-a）x-a-1=2，解得：x=$\frac{a+3}{1-a}$，
∴A（$\frac{a+3}{1-a}$，2），同理B（$\frac{3-a}{1+a}$，2）；
∵$\frac{3-a}{1+a}$＜0，∴y=2与f（x）的图象的两个交点都在y轴的左侧，

而y=（1+a）x+a-1与y=（a-1）x+a+1的交点的横坐标为1，
∴y=2只与f（x）的前2支相交，
∴|AB|=$\frac{3-a}{1+a}$-$\frac{a+3}{1-a}$=$\frac{8}{a-\frac{1}{a}}$，
∵a∈[3，4]，∴|AB|∈[$\frac{32}{15}$，3]，
而|CD|=4，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|∈[$\frac{64}{15}$，6]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查三角形的面积以及数形结合思想，是一道中档题．