Question

5．已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（Ⅰ）求证：函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）如果当x∈（-1，0]时，有f（x）＜0，试判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的判断；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若a-8x+1＞0对满足不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0的任意x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，可得其定义域关于原点对称，进而令y=x=0，可得f（0）=0，再令y=-x，分析可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（Ⅱ）分析可得：y=f（x）为（-1，1）上单调递增，进而证明：先用定义法证明可得y=f（x）为（-1，0]上单调递增，进而结合函数的奇偶性可得y=f（x）为（-1，0]上单调递增，综合可得答案；
（Ⅲ）根据题意，由函数的奇偶性以及单调性可得：若f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0，则必有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜2x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解可得x的范围，所以原问题等价于a-8x+1＞0对于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立，分析可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题可知，函数y=f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称；
对于f（x）+f（y）=f（x+y）．
令y=x=0，可得2f（0）=f（0），从而f（0）=0，
再令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以y=f（x）为（-1，1）上的奇函数；
（Ⅱ）y=f（x）为（-1，1）上单调递增，
证明如下：
设x₁、x₂为区间（-1，0]上的任意两个自变量的值，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）；
由于-1＜x₁＜x₂＜0，所以-1＜x₁-x₂≤0，从而f（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以y=f（x）为（-1，0]上单调递增，
又由于y=f（x）为（-1，1）上的奇函数；
由奇函数的性质分析可得：y=f（x）为[0，1）上单调递增，
故y=f（x）为（-1，1）上单调递增，
（Ⅲ）根据题意，若f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0，
则有f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（2x-$\frac{1}{4}$），
则必有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜2x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解可得-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$，
所以原问题等价于a-8x+1＞0对于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立，
则必有a≥[8×（$\frac{5}{8}$）-1]=4，即a≥4；
故a的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性、单调性以及函数恒成立问题的运用，对于（Ⅲ），关键在于将原问题转化为a-8x+1＞0对于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立问题．