Question

13．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜2}\\{{x}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$，若f（a+1）≥f（2a-1），则实数a的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 根据指数函数和幂函数的性质可得，当x＜2时，f（x）=2^x为增函数，且f（x）＜f（2）=4，由于当x＞2时，f（x）=x²为增函数，且f（x）≥f（2）=4，即可得到f（x）在R上为增函数，问题得以解决．

解答 解：由于当x＜2时，f（x）=2^x为增函数，且f（x）＜f（2）=4
由于当x＞2时，f（x）=x²为增函数，且f（x）≥f（2）=4，
∴f（x）在R上为增函数，
∵f（a+1）≥f（2a-1），
∴a+1≥2a-1，
解得a≤2，
故a的取值范围为（-∞，2]，
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于a的不等式，是解答的关键，属于中档题．