Question

为了完成绿化任务，某林区改变植树计划，第一年的植物增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的

1

2

．
（1）假设成活率为100%，经过4年后，林区的树木数量是原来树木数量的多少倍？
（2）如果每年都有5%的树木死亡，那么经过多少年后，林区的树木数量开始下降？

Answer 1

考点：数列的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意知增长率形成首项为2，公比为

1

2

的等比数列，从而第n年的增长率为

1

2n-2

，则第n年的林区的树木数量为a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1，求解即可．
（2）设经过n年后，林区的树木数量开始减少，由于a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1（1-5%）=

19

20

（1+

1

2n-2

）a_n-1．由a_n≥a_n-1，a_n≥a_n+1，可得结论．

解答： 解：（1）增长率形成首项为2，公比为

1

2

的等比数列，从而第n年的增长率为

1

2n-2

，
则第n年的林区的树木数量为a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1，
∴a₁=3a₀，a₂=6a₀，a₃=9a₀，a₄=

5

4

a₃=

45

4

a₀；
（2）设经过n年后，林区的树木数量开始减少，由于a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1（1-5%）=

19

20

（1+

1

2n-2

）a_n-1．
由a_n≥a_n-1，a_n≥a_n+1，可得19≤2^n-2≤38，∴n=7．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．