Question

【题目】已知函数f（x）x2﹣（6+a）x+2alnx（a∈R）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）函数g（x）x2+（2a﹣4）lnx﹣1，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 当a＞6时，f（x）在（，+∞），（0，2）上单调递增，在（2，）上单调递减．

当a＝6时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

当0＜a＜6时，f（x）在（2，+∞），（0，）上单调递增，f（x）在（，2）上单调递减．

当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上单调递增．

(2) （﹣5，+∞）．

【解析】

（1）首先对f（x）求导数，令，再讨论当、a＝6、、四种情况对应的单调性。

（2）首先由f（x）＜g（x），化简得4lnx+1＜（6+a）x，因为x∈[1，e]，所以a＞[]min，

令h（x），对 h（x）求导判断其单调性即可。求出最小值即可。

（1）f′（x）＝3x﹣（6+a）（x＞0），

令f′（x）＝0，得x1，x2＝2，

①当及a＞6时，

若x∈（，+∞）∪（0，2），f′（x）＞0，故f（x）在（，+∞），（0，2）上单调递增，

若x∈（2，），f′（x）＜0，故f（x）在（2，）上单调递减．

②当a＝6时，f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，

故f（x）在（0，+∞）上单调递增．

③当02，即0＜a＜6时，

若x∈（2，+∞）∪（0，），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞），（0，）上单调递增

若x∈（，2），f′（x）＜0，故f（x）在（，2）上单调递减．

④当，即a≤0时，

若x∈（2，+∞），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上单调递增，

若x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）在（0，2）单调递减．

综上所述：当a＞6时，f（x）在（，+∞），（0，2）上单调递增，在（2，）上单调递减．

当a＝6时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

当0＜a＜6时，f（x）在（2，+∞），（0，）上单调递增，f（x）在（，2）上单调递减．

当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上单调递增．

（2）当x∈[1，e]，由f（x）＜g（x），化简得4lnx+1＜（6+a）x，

因为x∈[1，e]，所以a＞[]min，

令h（x），，

令h′（x）＝0，得x＝e，

当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．

当x∈（e，e]时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．

所以h（x）min＝{h（1），h（e）}，

h（1）＝﹣5＜h（e），

所以a＞﹣5，

故a的取值范围是（﹣5，+∞）．