Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+5a，x＜1}\\{lo{g}_{7}x，x≥1}\end{array}\right.$的值域为R，那么a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{3}$]
• B． （-1，$\frac{1}{2}$）
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由对数函数的单调性，可得x≥1时，f（x）递增，且有f（x）≥0，由题意可得x＜1时，f（x）取得一切的负数，对一次项的系数讨论和端点处的函数值的符号，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+5a，x＜1}\\{lo{g}_{7}x，x≥1}\end{array}\right.$，可得
x≥1时，f（x）递增，且有f（x）≥0，
由题意可得x＜1时，f（x）取得一切的负数，
由f（x）=（1-2a）x+5a，x＜1，
可得1-2a＞0，且1-2a+5a≥0，
即为a＜$\frac{1}{2}$，且a≥-$\frac{1}{3}$，即-$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$；
当1-2a≤0时，f（x）在x＜1不能取得一切的负数．
综上可得a的范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
故选：C．

点评 本题考查函数的值域问题的解法，注意运用对数函数和一次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．