Question

已知函数f（x）=

x+a

x+b

（a、b为常数）．
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0；
（2）若a=1，当x∈[-1，2]时，f（x）＞

-1

(x+b)2

恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,其他不等式的解法

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）f（x-1）＜0即f(x-1)=

x-1+a

x

＜0，按照1-a与0的大小关系分三种情况讨论可解不等式；
（2）a=1时不等式可化为

x+1

x+b

＞

-1

(x+b)2

?(x+b)(x+1)＞-1（※），由x≠-b可知b∉[-2，1]，分离出参数b后化为函数的最值即可，由基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f（x-1）＜0即f(x-1)=

x-1+a

x

＜0，
①当1-a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1-a）；
②当1-a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈ϕ；
③当1-a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1-a，0）．
（2）a=1时，f（x）＞

-1

(x+b)2

即

x+1

x+b

＞

-1

(x+b)2

?(x+b)(x+1)＞-1（※）且x≠-b，
不等式恒成立，则b∉[-2，1]；
又当x=-1时，不等式（※）显然成立；
当-1＜x≤2时，b＞-

1

x+1

-x=1-(

1

x+1

+x+1)，
故b＞-1．综上所述，b＞-1．

点评：该题考查函数恒成立、分式不等式的解法，考查分类讨论思想，考查学生对问题的转化能力．