Question

2．已知函数f（x）=2x³-bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1））处的切线方程为x-y-2=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出切线方程根据系数相等，求出b，c的值，从而求出函数的表达式；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2x³-bx²+cx+d的图象过点P（0，2），
∴f（0）=d=2，
f′（x）=6x²-2bx+c，f′（1）=6-2b+c，f（1）=4-b+c，
故切线方程是：y-（4-b+c）=（6-2b+c）（x-1），
即（6-2b+c）x-y+b-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-2b+c=1}\\{b-2=-2}\end{array}\right.$，解得：b=0，c=-5，
∴f（x）=2x³-5x+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2x³-5x+2，f′（x）=6x²-5，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{30}}{6}$或x＜-$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{\sqrt{30}}{6}$＜x＜$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{30}}{6}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{30}}{6}$，$\frac{\sqrt{30}}{6}$）递减，在（$\frac{\sqrt{30}}{6}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道基础题．