Question

12．一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个等差数列；（2）最大角是最小角的2倍．则该三角形三边从小到大的比值为（　　）

• A． 4：5：6
• B． 3：5：7
• C． 4：6：8
• D． 3：5：6

Answer 1

分析 根据题意，设边长为，a，b，c（a＜b＜c），由三边组成一个等差数列，最大角是最小角的2倍，可得2b=a+c，2A=C．则B=180°-3A．利用正弦定理即可得比较关系．

解答 解：根据题意，设边长为，a，b，c（a＜b＜c），
由三边组成一个等差数列，最大角是最小角的2倍，
可得2b=a+c，2A=C．则B=180°-3A．
正弦定理得：2sinB=sinA+sinC
即2sin3A=sinA+sin2A．
解得：cosA=$-\frac{1}{2}$（舍去）或cosA=$\frac{3}{4}$．
那么：sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
sinC=sin2A=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
sinB=sin3A=3sinA-4sin³A=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$．
那么a：b：c=$\frac{\sqrt{7}}{4}$：$\frac{5\sqrt{7}}{16}$：$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=4：5：6．
故选A

点评 本题考查了正弦定理和三角形内角和定理，三角恒等式的化简计算能力．属于中档题．