Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：
①g（x）=

sinx(1-sinx)

1-sinx

；
②g（x）=sin（

5

2

π+x）；
③g（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

；
④g（x）=lgsinx；
⑤g（x）=lg（

x2+1

+x）；
⑥g（x）=

2

ex+1

-1
其中可以使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数的函数是（　　）

• A、①⑥
• B、①⑤
• C、⑤⑥
• D、③⑤

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：若使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数，则只需要g（x）是奇函数即可．分别根据函数奇偶性的定义进行判决即可．

解答： 解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴若使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数，则g（x）是奇函数即可．
①g（x）=

sinx(1-sinx)

1-sinx

=sinx，要使函数有意义，则1-sinx≠0，即sinx≠1，即x≠2kπ+

π

2

，定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数；
②g（x）=sin（

5

2

π+x）=cosx，为偶函数，不满足条件；
③g（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

；则g（

π

2

）=

2

2

=1，当x=-

π

2

无意义，即函数定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
④g（x）=lgsinx；要使函数有意义，则sinx＞0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，即函数定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
⑤若g（x）=lg（

x2+1

+x）；则g（-x）=lg(

x2+1

-x)=lg

1

x2+1 +x

=lg(

x2+1

+x)-1=-lg?(

x2+1

+x)=-g(x)，
∴g（x）为奇函数，满足条件．
⑥∵g（x）=

2

ex+1

-1=

2-ex-1

ex+1

=

1-ex

ex+1

，
∴g(-x)=

1-e-x

e-x+1

=

ex-1

ex+1

=-

1-ex

ex+1

=-g(x)，
即函数g（x）是奇函数，满足条件．
故选：C．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键，注意函数定义域的对称的特点．