Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且圆M：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-1=0过椭圆C的上、下、右三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和离心率；
（Ⅱ）将椭圆C的横坐标变为原来的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，纵坐标不变．得到椭圆C′的方程，已知直线l与椭圆C′只有1个交点，探究．是否存在两个定点P（x₁，0）、Q（x₂，0），且x₁＜x₂，使得P，Q到直线l的距离之积为1，如果存在，求出这两个定点的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的方程，求得与x和y轴的交点坐标，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即可求得椭圆方程，分类讨论，利用直线l与椭圆C有只有一个公共点，确定k，p的关系，设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，建立方程，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）由圆M：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-1=0，当x=0时，y=±1，
当y=0，x=2或x=-$\frac{1}{2}$，
由椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的右顶点（2，0），上顶点（1，0），下顶点（-1，0），
则a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）椭圆C的横坐标变为原来的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，则a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
则椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，
所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，
则$\frac{丨ks+p丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{丨kt+p丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$，
而（**）不恒成立．
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±$\sqrt{2}$时，
定点P（-1，0）、Q（1，0）到直线l的距离之积d₁?d₂=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
综上，存在两个定点（1，0），（-1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，考查学生的计算能力，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．