Question

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参见而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为

1

2

，且各局胜负相互独立．求：
（Ⅰ）恰好打满2局比赛就停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）令A_k，B_k，C_k分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜，且它们都是相互独立的，由此能求出恰好打满2局比赛就停止的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）令A_k，B_k，C_k分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜，
且它们都是相互独立的，
恰好打满2局比赛就停止的概率为：
P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=

1

22

+

1

22

=

1

2

．（5分）
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，
由（Ⅰ）有P（ξ=2）=

1

2

，
P（ξ=3）=P（A₁C₂C₃）+P（B₁C₂C₃）=

1

23

+

1

23

=

1

4

，
P（ξ=4）=P（A₁C₂B₃B₄）+P（B₁C₂A₃A₄）=

1

24

+

1

24

=

1

8

，
P（ξ=5）=P（A₁C₂B₃A₄A₅）+P（B₁C₂A₃B₄B₅）=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
P（ξ=6）=P（A₁C₂B₃A₄C₅）+P（B₁C₂A₃B₄C₅）=

1

25

+

1

25

=

1

16

．
故有分布列为

ξ	2	3	4	5	6
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

∴Eξ=2×

1

2

+3×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

16

+6×

1

16

=

47

16

（局）．（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法．